Aplikasi Head Loss pada perhitungan Sprinkler

Tugas besar mekanika fluida kali ini adalah pembuatan sebuah water sprinkler. Water sprinkler ini harus berfungsi dengan baik dan juga harus memiliki perhitungan yang benar. Berhubung aliran pada sprinkler adalah aliran viskos dan turbulen, maka aliran ini akan mengalami head loss. Berikut adalah desain dan perhitungan water sprinkler kelompok saya :

Vortex pada lubang

Ketika air mengalir dari sebuah wadah, menuju ke bagian bawah yang berlubang, maka akan ditemukan semacam vortex. Karena ada profil permukaan yang melengkung. Seperti pada fenomena saat bak mandi sedang dikuras. Diasumsikan distribusi kecepatan vortex sama dengan free vortexpada saat bersamaan, air keluar melalui titik A dan diinginkan ada sedikit air keluar dari pipa B. kapasitas air melalui A sebanding dengan kekuatan vortex. Tentukan kekuatan maksimum vortex sehingga tidak ada udara yang terhisap di titik B. Asumsikan aliran non-viskos dan ketinggian fluida dari lubang ke titik A adalah jauh, sehingga ketinggian dianggap konstan.

Jawab:

Karena free vortex merupakan medan aliran irotasional, maka persamaan Bernoulli berikut

dapat dituliskan apabila titik yang dipilih berada di permukaan bebas, dimana tekanan gauge adalah 0.

di mana ketinggian permukaan bebas, z_s, diukur dari permukaan atas.

Kecepatannya dituliskan dalam rumus:

Sedangkan dalam permukaan atas diketahui V₁ = v_θ ≈ 0. Sehingga,

Pipa akan menghisap udara saat z_s = -1 ft untuk r = 2 ft. Maka,

Maka akan diperoleh hasil sebagai berikut

Menentukan potensial kecepatan dalam aliran

Di soal diketahui suatu distribusi kecepatan pada aliran dua dimensi dari sebuah fluida viskos di antara dua plat lebar yang paralel membentuk fungsi parabolik, dengan fungsi

di mana ν = 0. Tentukan, jika ada, stream function dan potensial kecepatannya!

Jawab:

untuk menentukan fungsi aliran, pertama-tama kita mengintegralkan persamaan kecepatan di bawah ini yang didapat dari soal terhadap y

Sehingga didapat hasil seperti ini

Karena 

 Ψ bukan merupakan fungsi dari x.  

Maka,

di mana C adalah sebuah konstanta bebas.

Untuk menentukan potensial kecepatan,

kita mengintegralkan persamaan kecepatan tersebut terhadap x. Berbeda dengan fungsi aliran. Sehingga didapatkan hasil seperti berikut

Namun karena,

Tidak ada potensial kecepatan yang ada pada aliran ini

Konsep Pertukaran Fluida

Setiap fluida memiliki massa jenisnya sendiri-sendiri. Apabila ada perbedaan massa jenis pada dua jenis fluida yang berada dalam satu wadah, maka fluida yang lebih besar massa jenisnya akan berada dibawah fluida yang massa jenisnya lebih kecil. Sebagai contoh adalah peristiwa terpisahnya air dan minyak. Minyak berada diatas air karena massa jenis air lebih besar 

  dibandingkan minyak 

Mengapa hal ini terjadi? Sebenarnya hal ini terjadi karena adanya gaya angkat pada setiap partikel fluida minyak yang lebih besar dan adanya dorongan kebawah yang disebabkan oleh gaya berat partikel air. Pada dasarnya, proses ini dapat dikatakan sebagai pertukaran fluida. Pada kasus ini, partikel air bergerak ke bawah dan mendorong fluida minyak keatas. Sehingga, setelah keadaan setimbang minyak berada diatas air.

Prinsip pertukaran fluida tidak hanya dapat diaplikasikan pada air dan minyak saja. Hal-hal sederhana seperti air yang dituang kedalam gelas juga mengindikasikan adanya konsep pertukaran fluida dimana partikel air yang masuk kedalam gelas mendorong partikel udara yang memenuhi gelas keatas. Ada juga contoh seperti saat batu yang tercebur dalam air. Partikel dari batu masuk dan mendorong partikel air keatas. Untuk lebih jelasnya bisa dilihat video dibawah ini

Teorema Lapisan Batas

Teorema Lapisan batas adalah suatu konsep yang diajukan oleh seorang ilmuwan Jerman yang bernama Ludwig Prandtl (1857-1953). Teorema lapisan batas adalah suatu lonjakan besar untuk menghubungkan mekanika fluida secara teoritis dan eksperimental. Pada tahun 1904, Prandtl mengemukakan sebuah konsep yang mengatakan bahwa aliran di dekat sebuah batas padat, terbentuk sebuah lapisan fluida yang tipis dimana gesekan antara partikel fluida diperhitungkan. Namun, diluar lapisan ini (lapisan batas) fluida berperilaku sebagai fluida yang non-viskos atau tidak memiliki gesekan antara partikelnya.

Pada gambar diatas dilihat bahwa sebuah batu disebuah danau yang sangat lebar terkena aliran air. Pada keadaan yang nyata, fluida yang menerpa batu pastilah memiliki kekenyalan. Tapi, akan sangat menyulitkan perhitungan apabila semua fluida dianggap viscous. Namun, terdapat gesekan pada batu sehingga ada gesekan diantara partikel fluida. Maka, pada saat itu Prandtl memberikan sebuah konsep mengenai sebuah batas imajiner yang disebut lapisan batas. Daerah yang berada di dalam lapisan batas dihitung sebagai fluida viscous karena gesekan antara fluida diperhitungkan sedangkan fluida diluar lapisan batas dianggap sebagai fluida non-viscous untuk mempermudah perhitungan. Di masa kini, CFD dan komputer sudah dapat menghitung variabel-variabel yang dibutuhkan dengan sempurna. Namun, pada tahun 1904 masih belum ada komputer ataupun CFD. Sehingga, konsep lapisan batas ini sangatlah membantu perhitungan mekanika fluida karena Prandtl telah menggabungkan konsep teoritis dan eksperimental dalam teorema ini.

Teorema Lapisan Batas pada Profil Kecepatan

Dimana:

Pada grafik diatas, saya memperbesar sebagian kecil dari lapisan batas dari gambar sebelumnya. Lapisan batas ini diterpa oleh aliran bebas. Profil kecepatan yang berada didalam lapisan batas adalah fluida viskos sedangkan fluida yang berada diluar lapisan batas dianggap sebagai fluida non-viskos. Artinya kecepatan fluida diluar lapisan batas bernilai sama dengan kecepatan aliran bebas. Bagaimana dengan kecepatan fluida di lapisan batas? Kecepatan fluida di lapisan batas sangat mendekati kecepatan aliran bebas. Secara matematis, kecepatan aliran pada lapisan batas adalah :

Dimana:

 

Konsep Perubahan Energi

Perubahan Energi

Persamaan dasar energi mekanik  Dimana:

Pada dasarnya, kita semua mengerti mengenai aturan dasar energi yaitu hukum kekekalan energi. Hukum kekekalan energi berbunyi : “Energi tidak dapat diciptakan atau dimusnahkan”. Energi hanya dapat berubah bentuk menjadi bentuk yang lain. Setiap benda disekeliling kita memiliki energi. Sebagai contoh yang sederhana, penghapus yang berada diujung meja. Penghapus tersebut memiliki kecenderungan untuk jatuh karena terdapat energi potensial pada penghapus itu. Hal ini sama saja seperti air terjun. Air pada saat di ujung air terjun memiliki energi potensial. Lalu, saat air jatuh energi potensial pada air berubah energi kinetik. Saat air berada di dasar air terjun, energi potensial pada air sepenuhnya berubah menjadi energi kinetik. Berikut adalah skema untuk melihat perubahan energi pada saat partikel air jatuh pada suatu air terjun :

 

Keadaan 1

Partikel air tepat akan jatuh menuju dasar

Pada keadaan ini, air belum memiliki kecepatan. Maka, energi yang dimiliki air hanyalah energi potensial. Sehingga keseluruhan energi mekanik hanya berasal dari energi potensial

Keadaan 2

Partikel air saat jatuh

Pada keadaan ini, air sudah memiliki kecepatan dan ketinggian. Maka, energi mekanik dipengaruhi oleh energi potensial dan kinetik. Pada setiap penurunan ketinggian energi potensial pada air berubah menjadi energi kinetik yang menggerakkan partikel air

Keadaan 3

Partikel air saat tepat akan menyentuh dasar

Pada keadaan ini, air masih memiliki kecepatan namun tidak memiliki ketinggian. Sehingga, keseluruhan energi mekanik berasal dari energi kinetik.

Perubahan Energi dalam Ruang dan Waktu

Dari kasus jatuhnya partikel air, kita sudah dapat mengetahui adanya perubahan energi pada partikel air yang menyebabkan adanya pergerakan pada partikel air. Namun, dalam kasus ini kita hanya melihat perubahan energi dari sudut pandang jarak. Pada dasarnya, perubahan energi itu dapat terjadi seiring dengan perubahan jarak dan waktu. Namun, pada mekanika fluida dasar perubahan energi hanya dilihat dari arah saja. Berikut adalah persamaan dasar perubahan energi

Dimana:

Pada persamaan dasar perubahan energi dikatakan kalau perubahan energi terhadap waktu akan menghasilkan panas dan kerja. Artinya, perubahan energi juga dapat didefinisikan dengan perubahan waktu. Sehingga, secara matematis dapat ditulis sebagai berikut :

Dimana:

Aplikasi Perubahan Energi

Sekarang, mari kita telaah lagi arti dari persamaan dasar perubahan energi.

Pada hakikatnya, hanya perubahan energi yang dapat dimanfaatkan manusia. Sebagai contoh, PLTA memanfaatkan perubahan energi potensial air saat jatuh menjadi energi kinetik sebagai penggerak turbin. Atau perubahan energi kimia dari batubara menjadi energi panas. Karena, seperti yang sudah dijelaskan oleh persamaan diatas hanya perubahan energi yang dapat dimanfaatkan manusia karena dapat menghasilkan panas dan kerja

Teorema Transport Reynolds

Dalam melakukan analisa fluida kita diharuskan menentukan sistem yang akan dianalisa. Bagaimana cara kita menganalisa sistem yang besar seperti pipa yang panjang? Maka, dibutuhkanlah batas sistem. Batas sistem adalah batas imajiner yang digunakan untuk menentukan sistem yang dianalisa. Sedangkan sistem itu sendiri adalah sesuatu yang dianalisa dan dipantau dimana sesuatu yang dianalisa itu dibatasi oleh batas sistem. Pada mekanika fluida terdapat dua metode yang digunakan untuk menganalisa sistem, yaitu metode Eulerian dan Lagrangian. Metode Eulerian megacu kepada fungsi ruang dan waktu, sehingga sering disebut dengan konsep volume atur. Metode Lagrangian berkaitan dengan perubahan kedudukan setiap partikel. Berikut gambar yang dapat menjelaskan pendekatan kedua metode tersebut

Dalam konsep volume atur, dikenal adanya peristiwa Transport Reynolds, yaitu sebuah teorema yang menjelaskan tentang mekanika yang terjadi secara kontinyu. Transport Reynold inilah yang menghubungkan metode eulerian dan lagrangian. Sehingga dapat dikatakan volume dalam sebuah sistem tetap konstan.

Pada dasarnya, transport reynold menjelaskan fenomena yang terjadi dalam suatu batas sistem atau kontrol volum. Fungsi dari batas sistem tersebut adalah untuk membatasi daerah-daerah yang dipantau. Sebagai contoh adalah kontrol volum dari suatu sistem pipa.

Pada kontrol volume, terdapat vektor n yang selalu mengarah keluar dari kontrol volume. Vektor n inilah yang menentukan nilai positif dan negatif dari kecepatan yang dapat dituliskan dalam rumus.

Namun, karena sistem dianggap tunak, maka:

Sehingga,

Karena, terdapat tiga buah kecepatan pada sistem, sehingga dapat ditulis sebagai berikut

Dimana,

Nilai negatif V1 dan positif V2 dan V3 didapatkan karena kecepatan V1 berlawanan arah dengan vektor n (Lihat gambar) dan kecepatan V2 dan V3 searah dengan vektor n.